Насколько разнообразны виды геодезической деятельности, объекты и способы измерений, их количество, качество получаемых результатов, настолько разнообразен теоретический и математический аппарат, позволяющий все это выполнить. Если каждый из бывших студентов геодезическо-маркшейдерских специальностей вспомнит один из предметов под названием «МОМГИ», что означает математическая обработка маркшейдерско-геодезических измерений, то вспоминается ужас от обилия вновь вводимых критериев и понятий, набора новых способов вычислений с применением элементов до конца не доученных разделов высшей математики.
Сейчас попробуем целостно структурировать основы МОМГИ. После всех полевых наблюдений полученная информация не используется в том виде, в котором зафиксирована в первичной документации. Используя свои теоретические знания и практические умения, специалисты выполняют ее математическую обработку. Под этим понимается целый комплекс преобразований и вычислений, полученной при измерениях числовой информации, представляющей практическую ценность. Почти все вычислительные действия осуществляются в камеральных условиях, за исключением тех, которые предусмотрены методикой и исполняются в момент измерений для оценивания и сравнения полученных значений. Одной из специфических составляющих в математической обработке выступают погрешности, которые возникают изначально в моменты замеров и требующие определенного учета и преобразований. Все они имеют неизбежность находиться в неопределенных пределах искажения. Конечные результаты после их расчетов сопровождаются также неопределенными искажениями. Помимо этого, во многих способах и методах существуют в завершении работ контрольные измерения, приводящие к избыточным измерениям. Они влекут за собой возникновение различных значений одних и тех же величин. Кто из геодезистов и маркшейдеров с этим не сталкивался? Да, все.
Таким образом, можно сделать вывод, что основной задачей математической обработки можно считать нахождение однозначных значений величин наиболее приближенных к истинным. Наряду с этим на практике геодезические и маркшейдерские измерения решают следующие задачи:
- определение необходимой точности измерений для практических целей;
- выбор оптимальных средств и методов работ для достижения требуемой точности;
- установление необходимых допустимых параметров (критериев), которые давали бы возможность судить о достаточной точности выполненных работ;
- выбор способов и методик обработки проведенных измерений с целью получения оптимальных значений результатов;
- определение точности выполненных замеров и качественной характеристики полученных результатов.
Ориентировочный алгоритм вычислений
Существует определенный общий алгоритм вычислительных операций с целью получения результатов. Независимо от того какие виды работ выполнялись, математическая обработка, включает в себя следующие этапы:
- предварительную математическую обработку измеренных величин. Она включает проверку первичной документации, информации в ней, выявление грубых ошибок, определение средних измеренных параметров. Далее вычисление их невязок, оценка качества в пределах требуемой точности, введение поправок в измеренные параметры;
- уравнительные операции, включающие определение поправок в вычисляемые формулы;
- завершение вычислений, которые сводятся к окончательному получению результатов после выполнения математического определения уравненных значений величин.
- Окончательный анализ полученных результатов вычислений и оценка точности выполненных работ.
Такой алгоритм действует практически при создании всех геодезических сетей, при предварительном проектировании и по окончании их построения. Рассмотреть весь спектр возможностей математической обработки не возможно в одной статье из-за разных постановочных задач и путей их решения. Но каждый геодезист практически всегда использует в своей работе две основные геодезические задачи (прямую и обратную), которые требуют знаний теории погрешностей и двух различных способов их решения.
Прямая геодезическая задача в теории ошибок
Основной идеей ее является определение искомых координат неизвестных пунктов с использованием измеренных длин сторон и углов, при наличии известных координат на исходном геодезическом пункте. Прямая геодезическая задача решается, например при проложении теодолитного хода. При измерениях в нем линейных и угловых величин им сопутствуют получение целого ряда погрешностей. После вычислений можно записать функции измеренных величин в следующем виде:
yi =Fi (l1, l2, … , ln);
где l1, l2, … , ln – средние измеренные значения длин сторон,
Ряд известных погрешностей будет иметь такой вид: m1, m2, … , mn.
Истинные значения (Li) этой функции возникают при появлении взамен промеренных величин (l1, l2, … , ln).
Yi =F (L1, L1,…, Ln.),
Отсюда следует, что случайные ошибки определяются по формуле:
Е= yi — Yi,
Тогда СКП оцениваемой функции будет выглядеть:
M y =√[EE]/n
Числовые значения их определяются по формуле:
M2 yi = f21m21 + f22m22 + . . . + f2nm2n = ∑ f2im2i.
Эта формула одна из основополагающих в теории погрешностей и математической обработке в геодезии. Она имеет название формула переноса погрешностей. С ее помощью производится решение задач и оценка точности любых необходимых функций по известным среднеквадратическим отклонениям их независимых аргументов.
При решении прямой задачи стоит вопрос определения допустимых параметров. Для этого принимают истинные или измеренные с высокой точностью, или заранее известные, как верные. В замкнутом теодолитном ходе можно принять за такие условия сумму всех измеренных углов и приращений координат.
∑nj=1 β=180 (n-2),
∑nj=1 Δ x=0,
∑nj=1 Δ γ=0.
где β1, β2, … , βn – средние значения измеренных углов;
n — количество углов.
Вследствие получения измерительных ошибок в углах и сторонах теодолитного хода, перечисленные выше три условия, как правило, не выполняются. Возникают угловые невязки (wβ) и невязки приращений (wx ; wy).
Функция измеренных угловых величин имеет общий вид:
yi=Fi (β1, β2, … , βn);
Тогда равенство измеренных и истинных величин приобретает такой вид:
yi=Fi (β1, β2, … , βn)=
То есть можно сделать вывод о том, что зная ошибки замеренных углов(mi), можно определить погрешности суммы углов (My). В то же время она считается среднеквадратической погрешностью (CКП) невязки измерений. Допустимое значение к ней устанавливается исходя из формулы.
wβдоп = k My,
где k — коэффициент кратности исходя из таблицы вероятности.
При выборе этого коэффициента, следует понимать следующее. Делая выбор в пользу единичного коэффициента следует, что все измеренные параметры с вероятностью более шестидесяти восьми процентов будут отсекаться. При выборе коэффициента равного двум, вероятность получения правильных замеренных параметров будет равна девяноста пяти процентам. А при выбранном коэффициенте три отсев грубых ошибок в промерах будет равен 0,3%. Вероятность допустимых отклонений возрастает до девяноста девяти процентов. В практике геодезических работ коэффициент кратности принимают от 2,0 до 2,5. В теоретических расчетах его выбирают равным трем (3,0).
Таким образом, обеспечиваются принципы необходимой точности и устанавливаются допуски, которые при контроле измеренных величин.
Обратная задача в теории ошибок
Основной целью решения этой задачи считается определение длин сторон и их дирекционных углов по известным координатам пунктов сети.
В теории погрешностей дополнительными определяемыми данными будут выступать отклонения конкретных величин, групповые и средние ошибки. При решении обратной геодезической задачи возможно установление средних ошибок отдельных конкретных измерений с целью обеспечения заданной точности какой-то функции замеренных величин. Такая задача обычно возникает при решении соединительных треугольников во время проведения ориентирований шахтных стволов, при выполнении предрасчета общей средней погрешности смыкания капитальных выработок и других работах. В зависимости от требуемой производственной необходимости выполняются проектные и расчетные работы с задаваемой и ожидаемой точностью (Mож). Допустимая погрешность (Mдоп) устанавливается и утверждается как предельная ошибка (Mпред). Среднеквадратическая погрешность (Mxyz) имеет связь с предельной через известный вероятностный коэффициент кратности (k):
Mож = Mдоп = Мпред = kMxyz ;
Коэффициент кратности считается своего рода степенью риска, которая устанавливается в расчетах маркшейдерских работ равным трем. Таким образом, получив общую среднеквадратическую ошибку, определяется требуемая точность выполнения полевых замеров отдельных параметров.